ÚLOHY -



MATEMATIKA

  1. Jakou nejmenší délku může mít strana b trojúhelníku (a ≤ b ≤ c) , jehož obsah je 10 cm2?
  2. Kolik řešení má rovnice sin(2sin(3sin(4sin(...sin(2010sinx)...)))) = 1 ?
  3. Uvažme bažinu tvaru čtverce o rozměru m x n, n ∈ N . Na všech mřížových bodech [x;y], 1 ≤ x, y ≤ n byly umístěny kameny, po kterých můžeme bažinu přejít, přičemž můžeme dělat pouze kroky délky 1. Škaredý vandal několik kamenů odnesl. Kolik nejvíce kamenů mohl odnést, abychom měli jistotu, že můžeme bažinu přejít shora dolů nebo zleva doprava? (Např. z kamene [x;n] na kámen [;1] nebo z kamene [1;y] na kámen [n;] )
  4. Hrací plán na hru "Člověče nezlob se" je tvořen kružnicí s 36 políčky. Kolik nejméně potřebujeme figurek, abychom při jejich libovolném rozmístění a libovolném hodu kostkou mohli nějakou figurku jinou figurkou vyhodit?
  5. Po letošním pro nás úspěšném mistrovství světa v hokeji proběhlo hlasování o nejlepšího hokejistu světa za posledních 15 let. Pro jednotlivé hráče počet hlasujících je vždy uveden po zaokrouhlení v celých procentech. Hlasoval jsem pro našeho "Jardu", ale jeho zisk 7 % se nezměnil. Kolik nejméně lidí včetně mě hlasovalo? Pro jednoduchost předpokládejme, že každý účastník ankety hlasoval právě jednou a to pro jediného hráče.
  6. Najděte všechna reálná řešení soustavy rovnic:

    pro něž platí vztah: xy ≥ 0
  7. Bodem uvnitř trojúhelníka jsou vedeny tři přímky, z nichž každá je rovnoběžná s jednou stranou tohoto trojúhelníka. Tyto přímky rozdělují trojúhelník na šest částí, z nichž tři jsou trojúhelníky. Vypočtěte obsah daného trojúhelníka pomocí obsahů P1, P2, P3 těchto tří trojúhelníků.
  8. Dokažte, že číslo n2 + n + 1 (n je celé kladné) je násobkem čísla 19 pro nekonečně mnoho celých kladných čísel n.
  9. Máme posloupnost 91, 92, ..., 92010 . Kolik členů této posloupnosti začíná devítkou?
  10. STARŠÍ: Odvoďte vzorec pro součet následující posloupnosti:

    Své tvrzení dokažte.
  11. MLADŠÍ: Které číslo je větší: 12723 nebo 51318 ?




FYZIKA

  1. Motocyklista projede jedenkrát zkušební okruh. V okamžiku jeho rozjezdu spustíme stopky a budeme sledovat tachometr. Během prvních 15 s získá rychlost 126 km/h a touto rychlostí pak pojede po dobu 40 s. Na třetím úseku získá během 5 s rychlost 144 km/h, přičemž se dostane do poloviny okruhu. Další část okruhu projede stálou rychlostí a na posledním úseku se po dobu 60 s zpomaluje, až se zastaví na konci okruhu. Hmotnost motocyklisty se strojem je 240 kg. Pohyby v úsecích, kde se rychlost motocyklisty mění, považujte za rovnoměrně zrychlené nebo rovnoměrně zpomalené.
    a) Určete velikosti zrychlení na jednotlivých úsecích.
    b) Sestrojte graf závislosti rychlosti na čase.
    c) Určete celkovou dobu jízdy a průměrnou rychlost motocyklisty.
    d) Určete velikost a směr největší výsledné síly, která během jízdy působila na motocykl se závodníkem.
  2. Pavouk vylezl z díry uprostřed ciferníku věžních hodin a začal lézt stálou rychlostí po minutové rafii od středu k jejímu konci právě v okamžiku, kdy míjela "dvanáctku". Na konec rafie se dostal za půl hodiny, právě když míjela "šestku". Pak se obrátil a stejně velkou rychlostí vzhledem k rafii se vracel zpět. Rafie má délku l = 1,20 m, její periodu označme T.
    a) Sestrojte ve vhodném měřítku trajektorii pohybu pavouka vzhledem k ciferníku hodin.
    b) Určete velikost v1 rychlosti pavouka vzhledem k rafii.
    c) Určete, jak závisela velikost v rychlosti pavouka vzhledem k ciferníku na čase.
    d) Určete její minimální hodnotu vmin a maximální hodnotu vmax.
    e) Určete poměr velikostí maximální setrvačné odstředivé síly, která působí na pavouka ve vztažné soustavě spojené s rafií, a jeho tíhové síly.
  3. Vlak o hmotnosti m = 180 t se po vodorovných kolejích rozjíždí z klidu se stálým výkonem P = 250 kW.
    a) Určete rychlost vlaku v1 v čase t1 = 12 s.
    b) Určete čas t2, v němž dosáhne rychlosti v2 = 10 m/s.
    c) Sestrojte graf závislosti rychlosti na čase v časovém intervalu od 0 do t1.
    d) Z obsahu obrazce omezeného grafem rychlosti Určete dráhu vlaku s v čase t1.
    e) Předpokládejme, že by se vlak pohyboval z klidu rovnoměrně zrychleným pohybem a v čase t1 by dosáhl stejné rychlosti jako při původním pohybu se stálým výkonem. Určete jeho dráhu s´ v čase t1.
    f) Předpokládejme, že by se vlak pohyboval z klidu rovnoměrně zrychleným pohybem a v čase t1 by jeho dráha byla stejná jako při původním pohybu se stálým výkonem. Určete okamžitou rychlost v´ tohoto pohybu v čase t1. Do grafu rychlosti z úkolu c) doplňte grafy rychlosti pohybu předpokládaných v úkolech e) a f).
  4. Z vyhlídkové věže o výšce h, která stojí na vodorovném terénu, hodil chlapec míček vodorovným směrem.
    a) Určete velikost v0 počáteční rychlosti míčku, při níž míček dopadne do vzdálenosti h od paty věže.
    b) Určete velikost a směr rychlosti dopadu vd míčku.
    c) Určete velikost v0´ počáteční rychlosti míčku, při níž míček dopadne pod úhlem 45°.
    d) Určete délku vrhu d v případě c).
    Odpor vzduchu zanedbejte. Řešte nejprve obecně, pak pro h = 18,5 m.
  5. Určete závislost výchylky na čase tělesa, které koná složený pohyb ze dvou harmonických kmitání stejného směru, stejné amplitudy, je-li frekvence jedné složky dvojnásobkem složky druhé.
  6. Letadlo opustí balík v okamžiku, kdy letí rychlostí 500 km/h šikmo dolů po úhlem 30°. Balík dopadne na zem ve vzdálenosti 400 m měřené ve vodorovném směru. V jaké výšce nad zemí opustil letadlo? Jak dlouho letěl ve vzduchu?
  7. Těleso hmotnosti m pohybující se přímočaře rychlostí v má být zabrzděno konstantní silou velikosti F na dráze s. Určete tuto sílu.
  8. Těleso při volném pádu vykoná v poslední sekundě dvě třetiny své dráhy. Určete celkovou dráhu volného pádu.
  9. Z nejvyššího místa dokonale hladké koule poloměru R pustíme volně hmotný bod hmotnosti m a necháme jej klouzat po povrchu koule působením tíhové síly. V jaké výšce měřené od vrcholu koule opustí bod kouli a v jaké vzdálenosti od svislé osy koule dopadne na vodorovnou podložku?