ÚLOHY – MOFO 2006

 

GEOMETRIE

 

1.      Na obou stranách řeky o šířce d leží města A, B (ne na březích řeky). Spojte města A, B silnicí nejkratším možným způsobem (most vede kolmo ke břehům řeky).

2.      Jsou dány dvě kružnice k1, k2 (r1 ≠ r2). Narýsujte všechny přímky p tak, aby obě kružnice k1, k2 vytínaly na přímkách p stejně dlouhé tětivy délky d (d < r1, r2). Proveďte diskusi počtu řešení v závislosti na poloze kružnic  k1, k2.

 

 


MATEMATIKA

 

3.      Sto dětí se rozdělilo do tří družstev A, B, C. Poté, co jedno dítě přestoupilo  z A do B, jedno z B do C , jedno z C do A, se průměrná hmotnost dětí zvýšila v družstvu A o 120g, v družstvu B o 130g a v družstvu C se snížila o 240g. Kolik dětí bylo v jednotlivých družstvech?

4.      Máme dáno n mincí. Jedna z nich je falešná, což se projeví jinou hmotností mince. Nevíme však, jestli je těžší nebo lehčí než ostatní mince. K dispozici máme rovnoramenné váhy.

a)      Mezi kolika (nejvíce) mincemi poznáme falešnou minci pomocí dvou vážení?

b)      Mezi kolika (nejvíce) mincemi poznáme falešnou minci pomocí tří vážení?

BONUS:

c)      Mezi kolika (nejvíce) mincemi poznáme falešnou minci pomocí v vážení?

5.      Pepe si zapomněl poznačit kvadratickou rovnici, kterou měl doma řešit. Pamatoval si však, že koeficient  u kvadratického členu a = 3, u lineárního b = 25. U absolutního členu c se spletl pouze ve znaménku. Obě rovnice (ta kterou měl řešit, i ta, kterou řešil) měly celočíselný kořen. Zjistěte, které to byly rovnice.

6.      Najděte nejmenší přirozené číslo n tak, aby existovalo právě 45 uspořádaných dvojic (u, v) přirozených čísel, jejichž nejmenší společný násobek je n.

7.      Navrhněte postup bez použití kalkulátoru, kterým porovnáte zlomky

8.      Ostrov je obydlen čestnými lidmi, kteří vždy hovoří pravdu,a padouchy, kteří vždy lžou. Na ostrově žije 2003 obyvatel. Každý z nich rád buď zpívá, nebo hraje fotbal, nebo rybaří. Každému obyvateli byly položeny tři otázky:

Zpíváte rád?

Hrajete fotbal?

Rybaříte rád?

700 lidí odpovědělo na první otázku „ano“, 1000 lidí na druhou a 500 na třetí „ano“. Kolik padouchů je na ostrově?

9.      Digitální hodiny ukazují čas od 00:00 po jedné minutě až do 23:59. Chápejme dvojtěčku jako znak dělení. Která racionální čísla tak dostaneme za jeden den, tj. za 24 hodin, alespoň dvacetkrát?

10.  Najděte všechny uspořádané dvojice prvočísel , pro které platí

.

 

 


FYZIKA

 

Tučně vytištěné příklady nejsou soutěžní!

1. Na listě papíru stojí na podstavě průměru 2 cm válec výšky 20 cm. Určete nejmenší zrychlení, se kterým se musí potáhnout list, aby se válec překlopil? Předpokládejte, že válec po povrchu papíru neklouže.

2.  Ledový svah je skloněn pod úhlem a = 10°. Po svahu je vzhůru vržen kámen, který se po dosažení určité výšky vrací po téže trajektorii do výchozího místa. Jaký je koeficient smykového tření, jestli doba sjezdu n = 2-krát větší než doba výjezdu?

3.  Náboj vybuchne v nejvyšším bodě letu ve výšce 19,6 m a rozdělí se na dvě stejné části. Za dobu 1 s po výbuchu dopadne jedna část na zem pod místem výbuchu. V jaké vzdálenosti od místa výstřelu dopadne druhá část náboje, jestliže první dopadla ve vzdálenosti 1000 m? Zanedbejte odpor vzduchu.

4.  Dvě koule o hmotnostech m1 a m2 jsou spojeny tuhou tyčí, která je na počátku šikmého vrhu tělesa ve vodorovné poloze, kdy koule mají rychlosti v1 a v2, které svírají s horizontálou úhly a a b. Jaký musí být splněn vztah mezi rychlostmi a úhly za daných podmínek? Popište, jak se bude těleso během letu pohybovat. Jakou maximální výšku dosáhne těžiště tělesa?

5.  Vlak hmotnosti 500 t se pohyboval rovnoměrně přímočaře ve vodorovném směru. Od vlaku se odtrhl zadní vagón hmotnosti 20 t. Teprve poté, kdy vlak urazil po odtržení vagónu 240 m, přestaly pracovat motory vlaku. V jaké vzdálenosti od sebe zůstaly stát odtržený vagón a zbylá část vlakové soupravy? Předpokládejte, že odporová síla působící na celý vlak, pohybující se vagón či zbytek soupravy je přímo úměrná jejich hmotnosti.

6.  Horský potok s průřezem toku S vytváří vodopád výšky h. Střední rychlost toku vody v potoce je v. Určete výkon vodopádu, který bychom mohli využít.

7.  Čtyři stejné náboje q = 3,3×10-9 C jsou rozmístěny tak, že mezi každým z nich vzdálenost  5 cm. Určete síly co do velikosti, směru a orientace, kterými na náboje musíme působit, aby se soustava nábojů udržela v rovnováze.

8.  Závit izolovaného měděného vodiče je ohnutý ve tvaru osmičky, jejíž kruhové části mají poloměry r1 = 1 cm a r2 = 3 cm. Závit se nachází v homogenním magnetickém poli o indukci B = 104 T, jehož indukční čáry jsou kolmé na rovinu závitu. Magnetické pole se náhle vypne za dobu 10-3 s. Dojde k probití izolace, jestli vydrží rozdíl potenciálů mezi vodiči 10 V?

9.  Svislý kolík o výšce 1 m je postavený blízko pouliční lampy, vrhá stín dlouhý 0,8 m. Jestli přeneseme kolík o 1 m dále od lampy, vrhne stín dlouhý 1,25 m. Určete výšku lampy.

10.  Model vláčku má pět stejných vagónů začíná sjíždět nakloněnou rovinu. První vagón projel kolem značky, která označuje místo na nakloněné rovině, kde se nacházelo čelo prvního vagónu na počátku pohybu vláčku, po uplynutí doby 2 s od začátku sjíždění. Jak dlouho míjí značku poslední vagón? Pohyb vagónu je rovnoměrně zrychlený.

11.  Závaží o hmotnosti 50 kg je zavěšeno uprostřed drátu ABC (viz. Obrázek).

AC = CB = 5 m, AB =  m. Určete napěťové síly drátu.

12.  Dvě nakloněné dokonale hladké roviny, které svírají s vodorovnou rovinou úhly x a j  tvoří nehybný klín. Na těchto rovinách leží hranoly stejné hmotnosti spojené vláknem přes kladku. Jakou rychlost budou mít hranoly, projdou-li od začátku pohybu vzdálenost d?