1. Šesticiferné číslo začína
jedničkou. Když tuto jedničku přesuneme na konec čísla, zvětší se číslo
trojnásobně. Určete toto číslo.
2.
Najděte všechny
trojice a, b, c (na pořadí nezáleží) po dvou nesoudělných
přirozených čísel, pro které je výraz
přirozené číslo.
3.
Usáma pozoroval
na trhu babku, která si hrála s rovnoramennými vahami. Po chvíli se jí na
zvrásněné tváři objevil úsměv. Zjistila totiž, že 3 broskve a švestka váží
stejně jako 3 desetideková závaží a 2 meruňky. Po půlhodině aproximování
dospěla opět k rovnovážnému stavu, když v jedné misce měla 9 broskví,
5 švestek a 2 desetideková závaží a v druhé měla dvoukilové závaží a
meruňku. Usáma to nevydržel a snědl jednu meruňku, broskev a švestku i s peckami.
O kolik stoupla jeho hmotnost?
4.
V oboru
celých čísel řešte soustavu:
5.
Deseticiferné
číslo (zapsané v desítkové soustavě) se nazývá rozdivočené, když má
všechny cifry různé a je násobkem 11111. Kolik různých rozdivočených čísel
existuje?
6.
V zemi žije
99 princezen, 100 princů a 2 draci. Když potká princ draka, zabije ho. Když
potká drak princeznu, sežere ji. Když potká princ princeznu, zamiluje se,
z lásky mu pukne srdce a zemře. Tak si v zemi všichni šťastně žili,
dokud nepomřeli a nezůstal tam pouze jeden tvor. Který to byl?
7.
Dokažte, že každé
prvočíslo, pětkou počínaje, umocněné na druhou mínus jedna (tedy p2 - 1) dává výsledek
dělitelný číslem 24.
Úlohy na pravděpodobnost
8.
Možná znáte
následující hru s kostkami: Házíme šesti kostkami. Počítají se jedničky,
pětky a všechny trojice a více (tzn. trojice, čtveřice, pětice, šestice). Jaká
je pravděpodobnost, že při jednom hodu nehodím nic?
9.
Narozeninový
problém I.
Spočítejte
pravděpodobnost, že žádní dva lidé z patnáctičlenné skupiny nemají narozeniny
ve stejný den. Ignorujte 29. únor.
10. Narozeninový problém II. (Richard von Mises, 1939)
Kolik
lidí se musí nacházet v místnosti, aby, ignorujíc 29. únor, dva z nich měli
narozeniny ve stejný den roku s pravděpodobností alespoň 50%.
1.
Kdosi hodil míč
ze skalního úseku počáteční rychlostí o velikosti 15 m/s pod elevačním
úhlem -20° (pozor na znaménko).
Určete vodorovnou a svislou složku jeho posunutí po 2,3 s letu.
2.
Částice A se
pohybuje po přímce y = 30 m rovnoběžně s kladným směrem osy x.
Její rychlost je konstantní vektor o velikosti 3 m/s. Částice B vyletí
z počátku soustavy souřadnic s nulovou počáteční rychlostí právě
v okamžiku, kdy částice A prochází osou y. Částice B se pohybuje
s konstantním zrychlením o velikosti 0,4 m/s2. Jak je
třeba volit úhel q
mezi zrychlením částice B a kladným směrem osy y, aby se částice
srazily?
3.
Na podstavci
výšky h = 5 m spočívá koule hmotnosti M = 200 g. Střela hmotnosti
m = 10 g letí vodorovně rychlostí v = 500 m/s ve směru kolmém na
hranu podstavce a proletí skrz kouli ve směru průměru. a) V jaké
vzdálenosti L dopadne na zem střela, jestli koule dopadne na zem ve
vzdálenosti l = 20 m od spodní hrany podstavce? b) Jaká část kinetické
energie střely se transformuje na vnitřní energii během prorážení koulí
střelou? Zanedbejte odpor vzduchu.
4.
Kameraman stojí
na otevřené plošině dodávky a filmuje běžícího geparda. Dodávka jede rychlostí 65
km/h západním směrem, gepard běží ve stejném směru a je o 48 km/h
rychlejší. Náhle se gepard zastaví, otočí se a běží zpět na východ rychlostí 97
km/h vzhledem k zemi. Celý obrat trval 2 s. Určete průměrné
zrychlení zvířete vzhledem ke kameramanovi a vzhledem k zemi.
5.
Ocelová kulka
hmotnosti 5,2 g je vystřelena svisle dolů z výšky h1
= 18 m. Její počáteční rychlost má velikost v0 = 14 m/s.
Kulka se zaryje do písku a zastaví se v hloubce h2 = 21 cm.
a) K jaké změně mechanické energie kulky přitom došlo? b) Jaká je změna
vnitřní energie soustavy kulka+pískoviště+Země? c) Jaká je velikost průměrné
odporové síly F?
6.
Závodní
automobil o hmotnosti m se rozjíždí z klidu. Jeho motor má stálý
výkon P. Za jakou dobu urazí automobil dráhu s?
7.
Pozorování
světla z jisté hvězdy nám naznačuje, že tato hvězda je součástí
dvojhvězdy. Viditelná hvězda má oběžnou rychlost 270 km/h, dobu oběhu 1,7
dní a hmotnost přibližně rovnu 6MS, kde MS
= 1,99×1030 kg je hmotnost Slunce. Předpokládejme, že se hvězda a
její společník, který je temný, a proto neviditelný, pohybují po kruhových
oběžných drahách. Určete přibližně hmotnost m2 jejího temného
společníka.
8.
Tři děti - každé
o hmotnosti 40 kg - si udělaly vor svázaný z klád. Každá kláda měla
průměr 30 cm a délku 6 m.
Kolik klád musely děti použít, aby se s nimi vor nepotopil? Hustota dřeva
je 940 kg/m3.
9.
Určete hmotnost
vody nad zemí, jestliže je z povrchu země vystřikována šikmo vzhůru
rychlostí 20 m/s přes trysku kruhového průřezu 2 cm.
10. Na vodorovném
dně vodojemu leží zrcadlo. V jaké vzdálenosti l od místa dopadu
paprsku na vodní hladinu po odrazu na zrcadle vystoupí tento paprsek znovu na
hladinu vody? Úhel dopadu paprsku je 30°, index lomu je 1,33,
hloubka h vodojemu 1,2 m.