ÚLOHY - MOFO 2009

MATEMATIKA
  1. Uvažme pět měst A, B, C, D, E ve vrcholech pravidelného pětiúhelníka. Navrhněte silniční síť mezi těmito městy tak, aby celková délka silnic byla minimální. Kolik kilometrů silnic budete potřebovat? Vzdálenost sousedních měst je 100 km a celkovou délku silnic počítejte s přesností na centimetry.
  2. Každý z třiceti účastníků mezinárodního tábora umí aspoň jeden z těchto jazyků: čínsky, katalánsky nebo velšsky. Čínsky umí 25 táborníků, z nichž 6 umí i katalánsky. Počet táborníků, kteří umí všechny tři jazyky, je stejný jako počet táborníků, kteří umí jen velšsky. Táborníků, kteří umí katalánsky, je o 2 méně než těch, co umí velšsky. Táborníků, kteří umí jen čínsky, je více než dvakrát tolik než těch, co umí jen čínsky a velšsky. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný účastník tábora mluví čínsky?
  3. Předposlední obří jablko mělo o polovinu větší povrch než poslední obří jablko. Předposlední jablko stojí 25 ořechů a poslední 14 ořechů. Které je výhodnější koupit? Obří jablka mají tvar koule.
  4. Určete hodnotu výrazu
  5. Šest stejných dominových kostiček délky 50 mm je položeno na sobě. Jaký teoretický maximální převis můžou kostky mít, aby se nesesypaly?
  6. Číslo je dělitelné šesti právě pro ta přirozená čísla n, pro která je číslo dělitelné třinácti. Dokažte.
  7. V kruhu je rozestaveno 640 kamenů. Chodíme stále dokola po obvodu kruhu a každý druhý kámen vyhazujeme pryč. Pracujeme do té doby, kdy z celého kruhu zůstane pouze jediný kámen. Jako kolikátý jsme tento kámen poprvé míjeli?
  8. Najděte všechny kvadratické funkce, které zobrazí interval <2,5> na interval <15,27> a jejichž graf prochází počátkem soustavy souřadnic.
  9. Dokažte, že

    pro každé přirozené číslo n.
  10. Najděte všechna reálná řešení soustavy rovnic:

    pro něž platí vztah: xy ≥ 0
  11. Maminka je dnes o 21 let starší než její dítě. Za 6 let bude dítě pětkrát mladší než maminka. Co dělá tatínek?



FYZIKA
  1. Skokan do vody ve vzpřímené poloze s rukama nad hlavou opouští můstek, jehož hrana je 5 m nad hladinou vody a vertikální složka rychlosti jeho těžiště následkem odrazu je 2,5 m/s. Vzdálenost mezi těžištěm skokana a chodidly je 1,2 m. Jakou úhlovou rychlost musí mít na začátku skoku, aby vykonal při seskoku 2,5 otáčky?
  2. Na obrázku se předpokládá poloha těžiště osoby nad kotníkem, v prvém případě se chodidlo zcela dotýká podložky, ve druhém není pata v kontaktu s podložkou. Celistvost podélné klenby je udržena celkovou silou, kterou působí podélné svaly, vazy a povázky na spodní straně chodidla. Jestliže předpokládáme pomalou chůzi, s nepatrným zrychlením, bude tělo v prakticky v rovnovážné poloze.
    1. Vypočtěte sílu F v podélných tkáních pro postoj podle obr. 1, je-li dáno: m = 40 kg, l1 = 16 cm, l2 = 10 cm, θ1 = 60°, θ2 = 36,9°. Diskutujte vliv velikosti úhlů na velikost síly F.
    2. Určete sílu napínající Achillovu šlachu FT a také sílu F pro postoj podle obr. 2, v němž je pata mírně nad podložkou.
                  obr. 1                            obr. 2
  3. Sprinter hmotnosti 80 kg zrychluje v zatáčce nejprve na dráze poloměru 15 m, potom 20 m. Rychlost běhu a velikost tečné složky zrychlení jsou v obou případech stejné a mají velikosti 10 m/s a 0,5 m/s2. Vypočtěte velikost a stanovte směr síly, kterou působí podložka na chodidlo. Stanovte rovněž odklon podélné osy těla běžců od vertikály.
  4. Bratři Michal a Radim se rozhodli, že pro kamarády uvaří čaj. Do rychlovarné konvice nalili 1 litr studené vody o teplotě 18°C. Za 4 min se voda začala vařit. S jakou účinností pracuje konvice, má-li příkon 1435 W? Vody však bylo pro všechny málo a protože spěchali, napustil Radim do konvice stejné množství teplé vody. Michal zjistil, že voda začala vřít již za dvě minuty. Radim tvrdil, že teplá voda musela mít dvakrát větší teplotu než voda studená a tím se dostal do sporu s Michalem. Kdo měl pravdu a proč?
  5. Během cesty letadlem na MOFO poslouchal Radim zprávy kapitána letadla, podle nichž se letadlo pohybovalo ve výšce 10 500 m a vnější teplota byla -55°C. Předpokládal, že nulové výšce odpovídá teplota 20°C a atmosférický tlak 1000 hPa. V tomto rozsahu výšky uvažoval lineární pokles tlaku s výškou. Stavovou změnu vzduchu vyjádřil, kromě stavové rovnice ideálního plynu, rovnicí polytropické změny: pVk = konst. (k = 0 - izobarický, k = 1 - izotermický, k = ∞ - izochorický). K jakým výsledkům dospěl, pokud řešil tyto úkoly:
    1. Určete hustotu vzduchu v nulové výšce, je-li molární hustota vzduchu 0,029 kg/mol.
    2. Jakou hodnotu dosahuje tlak ve výšce h1 = 100 m, předpokládáme-li, že je změna hustoty zanedbatelná?
    3. Jaká je teplota ve výšce h1? Jakou má velikost konstanta k?
    4. Určete tlak vzduchu ve výšce letu. Molární plynová konstanta R = 8,314 J.K-1.mol-1.
  6. Z jaké maximální vzdálenosti je možné v noci spatřit hořící cigaretu, má-li při silném potáhnutí kuřákem svítivost 2,5.10-3 cd? Nejmenší světelný tok, který můžeme okem vnímat, je 10-13 lm a obsah povrchu zřítelnice za tmy 0,4 cm2.
  7. Nad středem polokulové plochy visí bodový zdroj světla svítivosti I = 50 cd ve vzdálenosti od středu rovnající se poloměru plochy. Určete osvětlení místa na ploše, na které dopadají paprsky pod úhlem 35°. Poloměr má velikost 1 m.
  8. Výtah stoupá vzhůru se zrychlením 2 m/s2. V okamžiku, kdy měl rychlost 2,4 m/s, ze stropu se uvolnil šroubek. Od podlahy výtahu je strop vzdálen 2,47 m. Jak dlouho trvalo šroubku, než se dostal na podlahu? O jakou vzdálenost přitom výtah vystoupal?
  9. Loď vyplouvá z bodu A a pohybuje se rychlostí v, která svírá s úsečkou AB úhel a. Pod jakým úhlem b k úsečce AB musí být vypuštěno z bodu B torpédo, které je schopno se pohybovat rychlostí u, aby zasáhlo loď. Torpédo bude vypuštěno z bodu B v okamžiku, kdy loď vyplouvá z bodu A.