ÚLOHY - MOFO 2008

MATEMATIKA
  1. Najděte všechny pravoúhlé trojúhelníky s obvodem 180, jejichž délky stran jsou vyjádřeny přirozenými čísly.
  2. Je dáno přirozené číslo n. Určete poslední číslici (v desítkové soustavě) čísla n2, je-li 7 předposlední číslicí čísla n2.
  3. Pepíček s Mařenkou dali vědět 480 spolužákům, že pořádají sbírku na adopci hrocha. Od těch, kteří se rozhodli přispět, vybrali po 49 Kč. Pepíček věděl, že potrava pro hrocha na jeden den stojí 247 Kč, a proto nakonec přidal k nashromážděným penězům ještě 45 Kč, aby obnos vystačil přesně na určitý počet dní. Na kolik dní nyní mohou milého hrocha adoptovat?
  4. Závaží na jedné misce vah jsou uspořádána do pyramidy. V nejspodnější řadě jsou čtyři závaží, nad nimi tři, nad nimi dvě a úplně nahoře je jediné závaží. Víme, že hmotnost závaží ve vyšší řadě pyramidy je součtem hmotností dvou závaží, která jsou právě pod ním. Ze všech deseti závaží známe jen hmotnosti tří z nich - viz. obrázek. Jaká je hmotnost všech závaží dohromady?
    Obrázek:
  5. Je dáno přirozené číslo n. Jak rozdělit číslo n na libovolný počet přirozených sčítanců n = a1 + a2 + ... + ak tak, aby jejich součin pMAX = a1 · a2 · ... · ak byl co největší. Dokažte.
  6. Zapišme všechna dvojciferná čísla od 19 do 80 do jedné řady. Vznikne číslo .Je číslo dělitelné 1980?
  7. Hodinová a minutová ručička svírají pravý úhel. Za kolik vteřin nejdříve budou ručičky ležet na jedné přímce?
  8. V učebnici dějepisu se píše o památné koruně syrakuského krále Hierona, která byla z čistého zlata a stříbra. Vážila 20 liber, při ponoření do vody byla o 1,25 libry lehčí. Kolik zlata a kolik stříbra (v librách) koruna obsahovala?
  9. Mějme 3 nádoby o obsahu přesně 8, 5 a 3 litry. Opět největší nádoba je plná, zbývající jsou prázdné. Určete postup, kterým nejmenším počtem přelévání dosáhneme toho, aby ve dvou nádobách bylo přesně po 4 litrech.
  10. Dvě celá čísla sečteme, odečteme, znásobíme a vydělíme. Sečteme-li všechny výsledky, dostaneme číslo 243. Která dvě celá čísla by to mohla být? Pokud je více řešení, najděte všechny.



FYZIKA
  1. Ledová kra má plošný obsah 6 m2 a tloušťku 30 cm. Hustota ledu je 910 kg.m-3, hustota vody 1000 kg.m-3. Do jaké hloubky se kra ponořila? Může na kru vstoupit člověk hmotnosti 80 kg, který si nemíní namočit nohy? Jaké největší zatížení (urči maximální hmotnost) kry je možné, aniž by se ponořila?
  2. Na dokonale hladkém oválném stole je položený hranol s hmotností m, který je nití uvázaný ke svislé tyčince poloměru r, připevněné uprostřed stolu. Nit se nedeformuje v tahu, je dokonale ohebná a přetrhne se, dosáhne-li síla v tahu velikost Fp. Nejprve je hranol umístěn při okraji stolu s poloměrem R0, nit je současně nepatrně napnutá. Nárazem uvedeme hranol do pohybu s počáteční rychlostí kolmou na nit o velikosti v0. Poloměr stolu je mnohem větší než poloměr tyčinky a délka hrany hranolu.
    a) Dokažte, že velikost rychlosti hranolu se při navíjení nitě na tyčinku nemění.
    b) Dosažení jakého poloměru rotace způsobí za daných podmínek přetržení nitě?
    c) Kolik oběhů hranol vykoná do přetržení nitě?
    d) Jak velkou rychlostí odletí hranol ze stolu po přetržení nitě?
  3. Jedna ze starších metod měření rychlosti světla používá rovnoměrně rotující ozubené kolo. Světelný paprsek prošel mezerou mezi zuby kola, odrazil se od zrcadla a dopadl zpět na rotující kolo tak, aby právě prošel následující mezerou. Ozubené kolo o poloměru 5 cm mělo na obvodu 500 zubů. Pomocí zrcadla umístěného ve vzdálenosti l = 500 m byla naměřena hodnota rychlosti světla 3 105 km.s-1. Jaká byla úhlová rychlost kola? Vypočtěte velikost rychlosti bodu na jeho obvodu.
  4. Malé letadlo může vzhledem k okolnímu vzduchu dosáhnout rychlost o velikosti 500 km.h-1. Pilot má dopravit pasažéry do místa vzdáleného 800 km přesně na sever. Zjistí však, že má-li letět přímo k severu, musí odklonit kurs o 20° na východ. Let trvá 2 hodiny. Určete rychlost větru (směr i velikost).
  5. Bedna naplněna koulemi je vržena vzhůru. Jak se mění síla, kterou působí koule na dno, boční stěny bedny a na sebe navzájem během letu bedny ve srovnání se stavem, kdy bedna s koulemi spočívá na vodorovné podložce? Jak se změní odpověď, bude-li bedna vržena šikmo vzhůru? Zanedbejte odpor vzduchu.
  6. Eskalátor v metru dopraví dolů člověka jdoucího ve směru pohybu eskalátoru za jednu minutu. Jestli půjde člověk stejným směrem dvakrát rychleji, bude dole za 45 s. Za jak dlouho dojede dolů člověk na eskalátoru stojící?
  7. Člověk běží po eskalátoru. Poprvé překonal 50 schodů., běžel-li na stejnou stranu trojnásobnou rychlostí, překonal 75 schodů. Kolik by jich prošel na stojícím eskalátoru?
  8. Na obrázku je schéma elektrického odporového teploměru v můstkovém zapojení. Všechny části, kromě čidla o odporu R´, jsou udržovány na teplotě t1. Má-li také čidlo teplotu t1, je můstek vyrovnán a galvanometrem neprochází proud. Zvýší-li se teplota čidla, zvětší se jeho odpor a na galvanometru se objeví výchylka. Při plné výchylce prochází galvanometrem proud Igmax. Čidlo je zhotoveno z kovového vodiče, jehož teplotní součinitel odporu vztažený k teplotě t1 je a.
    a) Jak se musí zvětšit odpor R´, aby galvanometr ukazoval plnou výchylku? Při které teplotě t2 se to stane?
    b) Můžeme v intervalu teplot (t1, t2) považovat závislost proudu Ig na teplotě za lineární?
    Je dáno: U0 = 10 V, Ri = 10 W, R = 100 W, t1 = 20°C, a = 4.10-3 K-1, Rg = 2000 W, Igmax = 100 mA
    Obrázek: