ÚLOHY – MOFO 2007

 

 MATEMATIKA

  1. Zápis čísla n  v desítkové soustavě se skládá z 2007 devítek. Kolik devítek obsahuje číslo n2 ?
  2. Čtyřúhelníkový dort byl úhlopříčně rozřezán na čtyři díly. Tři díly byly zváženy, první vážil 120 g, druhý 200 g a třetí 300 g. Čtvrtý dort byl sněden. Kolik mohl vážit celý dort?
  3. Nechť  jsou tři rovnoběžné tětivy ležící v jedné polorovině kruhu. Vzdálenost  a   je stejná jako vzdálenost mezi   a . Délky tětiv jsou 20, 16 a 8. Pomocí odmocniny vyjádřete poloměr kruhu.
  4. Nechť . Bez výpočtu r vyjádřete
  5. Funkce  je definovaná pro libovolné přirozené číslo a vyhovuje pro každé dvě přirozená čísla  a  rovnici  . Určete , jestliže .
  6. Najděte všechna řešení následující soustavy rovnic v oboru přirozených čísel.

w x + y z = 2007

w y + z x = 2007

w z + x y = 2007 

Poznámka:

Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že čísla jsou seřazená podle velikosti: w ≥ x ≥ y ≥ z.

  1. Dva střelci střídavě střílí na terč. Soutěž skončí po prvním zásahu do terče. První střelec zasáhne cíl s pravděpodobností , druhý s pravděpodobností .

Jaká je pravděpodobnost, že první střelec bude střílet vícekrát než druhý?

  1. Určete všechna celá čísla x, pro která je  prvočíslo.
  2. Do čtverce o dané úhlopříčce u vepište obrazec tvaru kříže složeného ze dvou stejně širokých pruhů, souměrných podle úhlopříček tak, aby plošný obsah kříže byl největší.
  3. Aritmetický průměr několika navzájem různých prvočísel se rovná 27. Určete, jaké největší prvočíslo mezi nimi může být.

 

  1. BONUS

Jak bude pokračovat následující posloupnost?

ÚLOHY – MOFO 2007

 

 FYZIKA

 

1. Na obr. 1.1 vidíte izotermu určité látky. Vodorovná část odpovídá stavům látky, která existuje ve dvou fázích (kapalina + sytá pára). Nechť jsou dány: teplota T, tlak syté páry ps pro teplotu T, hmotnost látky m, měrné skupenské teplo vypařování lv, měrné objemy kapaliny a syté páry v1 a v2. Určete:

a) práci vykonanou látkou během přechodu ze stavu 1 do stavu 2, b) množství tepla, které látka odevzdala okolí, c) změnu vnitřní energie látky.

2. Na křivce tlaku nasycených par (obr. 2.1) je zobrazen bod A. Na jakou množinu bodů se zobrazí bod A v p-V diagramu látky?

                                  

obr. 1.1                                                     obr. 2.1

3. Na obr. 3.1 jsou zakresleny tři izotermy a izobara. Nakreslete jim odpovídající křivky v p-T diagramu z obr. 3.2.

 

                               

obr. 3.1                                                           obr. 3.2

4. Kosmonauti se rozhodli přistát na neznámé planetě, aby prozkoumali její povrch. Ještě předtím zjistili, že průměr planety je desetkrát větší než průměr Země. Jeden oblet planety v malé výšce nad jejím povrchem trval 1 h 16 min. Určete hustotu planety. Jakou rychlostí by dopadl na povrch planety člověk o hmotnosti 80 kg z výšky 0,5 m? Odpor prostředí zanedbejte. Rozhodněte, zda je výstup na povrch planety bezpečný.

5. Laborant použil pyknometr (viz obr. 5.1) na měření hustoty malých úlomků kovů. Nejprve zjistil hmotnost všech úlomků: m1 = 2,2135 g. Poté zcela naplnil pyknometr destilovanou vodou a zvážil jej: m2 = 32,8532 g. Nakonec vložil do prázdného pyknometru úlomky, zcela jej naplnil vodou a zvážil: m3 = 34,8180 g. Předpokládejte hustotu vody 1000 kg×m-3. Jakou  střední hustotu má materiál, z něhož jsou úlomky?

6. Pod jakým úhlem a musí být vrženo těleso, aby se po odraze od svahu s úhlem sklonu b = 30° dostalo letem zpátky do místa, z něhož bylo vrženo (obr. 6.1)? Nechť je odraz tělesa od svahu dokonale pružný.

 

                        

     obr. 5.1                                                                       obr. 6.1

7. Lidské oko představuje optickou soustavu, schématicky znázorněnou na obr. 7.1. Vnější povrch zornice, kterou vstupuje světlo do oka, má poloměr zakřivení R1 = 7,8 mm. Ve vzdálenosti d1 = 3,6 mm od povrchu se nachází vrchol tlusté čočky. V případě čočky zaostřené na nekonečno jsou poloměry povrchů čočky R2 = 10 mm a R3 = -6 mm, tloušťka čočky d2 = 3,6 mm. Uvnitř oka je tekutina indexu lomu           n1 = 1,336, materiál čočky má index lomu n2.=1,413. Index lomu prostředí před okem je n0 = 1.

a) Dokažte, že platí zobrazovací rovnice  pro lom na kulové ploše (viz obr. 7.2). Hodnoty veličin a, a´, R jsou kladné. Předpokládejte, že paprsky svírají s optickou osou velmi malé úhly, pro něž je možné použít vztah sinj » j » tg j.

b) Určete tloušťku oka d, jestliže oko s čočkou podle obr. 7.1 zobrazí velmi vzdálený předmět na zadním povrchu oka.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



8. Oddíl vojáků ve tvaru obdélníku se pohybuje ve směru délky obdélníku d = 50 m konstantní rychlostí vc. Od posledního vojáka v útvaru vyběhne pes ve směru pohybu útvaru konstantní rychlostí vp a současně začneme měřit dráhu uraženou útvarem. Doběhne na čelo útvaru, otočí se, a běží zpět opět rychlostí vp. V okamžiku, kdy doběhne k poslednímu vojákovi, bude mít útvar uraženou dráhu d. a) Určete poměr rychlostí vp/vc. b) Určete vzdálenost, kterou pes uběhl. Zanedbejte dobu, kterou potřebuje pes na obrátku.

9. Z kapky mýdlové vody, která má poloměr r = 2 mm, se vytvoří bublina s vnitřním poloměrem R = 2,5 cm. Tuto bublinu poté nabijeme elektrickým nábojem na elektrický potenciál j = 1000 V. Následně bublina praskne a přemění se na kapku s poloměrem r. a) Určete tloušťku stěny bubliny a tlakový rozdíl mezi vnitřkem a vnějškem bubliny. b) Jakou změnu tlaku uvnitř bubliny a poloměru bubliny způsobí nabití bubliny na výše daný potenciál? Bude změna poloměru pozorovatelná lidským okem? c) Jakou hodnotu dosáhne intenzita elektrického pole na povrchu kapky, která je výsledkem prasknutí nabité bubliny, aniž se přitom změní elektrický náboj? Je-li dielektrická pevnost vzduchu Ep = 30 kV/cm, dojde při prasknutí bubliny k průrazu dielektrika? Povrchové napětí mýdlové vody je s = 7,2×10-2 N×m-1, normální atmosférický tlak p = 1013,25 hPa.

10. Určete celkové odpory sítí, v nichž má každá větev odpor r (obr. 10.1).

 

 

 

obr. 10.1