Úlohy MOFO 2004 - MATEMATIKA

1.      Šesticiferné číslo začína jedničkou. Když tuto jedničku přesuneme na konec čísla, zvětší se číslo trojnásobně. Určete toto číslo.

2.      Najděte všechny trojice a, b, c (na pořadí nezáleží) po dvou nesoudělných přirozených čísel, pro které je výraz

přirozené číslo.

3.      Usáma pozoroval na trhu babku, která si hrála s rovnoramennými vahami. Po chvíli se jí na zvrásněné tváři objevil úsměv. Zjistila totiž, že 3 broskve a švestka váží stejně jako 3 desetideková závaží a 2 meruňky. Po půlhodině aproximování dospěla opět k rovnovážnému stavu, když v jedné misce měla 9 broskví, 5 švestek a 2 desetideková závaží a v druhé měla dvoukilové závaží a meruňku. Usáma to nevydržel a snědl jednu meruňku, broskev a švestku i s peckami. O kolik stoupla jeho hmotnost?

4.      V oboru celých čísel řešte soustavu:

5.      Deseticiferné číslo (zapsané v desítkové soustavě) se nazývá rozdivočené, když má všechny cifry různé a je násobkem 11111. Kolik různých rozdivočených čísel existuje?

6.      V zemi žije 99 princezen, 100 princů a 2 draci. Když potká princ draka, zabije ho. Když potká drak princeznu, sežere ji. Když potká princ princeznu, zamiluje se, z lásky mu pukne srdce a zemře. Tak si v zemi všichni šťastně žili, dokud nepomřeli a nezůstal tam pouze jeden tvor. Který to byl?

7.      Dokažte, že každé prvočíslo, pětkou počínaje, umocněné na druhou mínus jedna (tedy p2 - 1) dává výsledek dělitelný číslem 24.


Úlohy na pravděpodobnost


8.      Možná znáte následující hru s kostkami: Házíme šesti kostkami. Počítají se jedničky, pětky a všechny trojice a více (tzn. trojice, čtveřice, pětice, šestice). Jaká je pravděpodobnost, že při jednom hodu nehodím nic?

9.      Narozeninový problém I.

Spočítejte pravděpodobnost, že žádní dva lidé z patnáctičlenné skupiny nemají narozeniny ve stejný den. Ignorujte 29. únor.

10. Narozeninový problém II. (Richard von Mises, 1939)

Kolik lidí se musí nacházet v místnosti, aby, ignorujíc 29. únor, dva z nich měli narozeniny ve stejný den roku s pravděpodobností alespoň 50%.

 

Úlohy MOFO 2004 - FYZIKA

 

1.      Kdosi hodil míč ze skalního úseku počáteční rychlostí o velikosti 15 m/s pod elevačním úhlem -20° (pozor na znaménko). Určete vodorovnou a svislou složku jeho posunutí po 2,3 s letu.

2.      Částice A se pohybuje po přímce y = 30 m rovnoběžně s kladným směrem osy x. Její rychlost je konstantní vektor o velikosti 3 m/s. Částice B vyletí z počátku soustavy souřadnic s nulovou počáteční rychlostí právě v okamžiku, kdy částice A prochází osou y. Částice B se pohybuje s konstantním zrychlením o velikosti 0,4 m/s2. Jak je třeba volit úhel q mezi zrychlením částice B a kladným směrem osy y, aby se částice srazily?

3.      Na podstavci výšky h = 5 m spočívá koule hmotnosti M = 200 g. Střela hmotnosti m = 10 g letí vodorovně rychlostí v = 500 m/s ve směru kolmém na hranu podstavce a proletí skrz kouli ve směru průměru. a) V jaké vzdálenosti L dopadne na zem střela, jestli koule dopadne na zem ve vzdálenosti l = 20 m od spodní hrany podstavce? b) Jaká část kinetické energie střely se transformuje na vnitřní energii během prorážení koulí střelou? Zanedbejte odpor vzduchu.

4.      Kameraman stojí na otevřené plošině dodávky a filmuje běžícího geparda. Dodávka jede rychlostí 65 km/h západním směrem, gepard běží ve stejném směru a je o 48 km/h rychlejší. Náhle se gepard zastaví, otočí se a běží zpět na východ rychlostí 97 km/h vzhledem k zemi. Celý obrat trval 2 s. Určete průměrné zrychlení zvířete vzhledem ke kameramanovi a vzhledem k zemi.

5.      Ocelová kulka hmotnosti 5,2 g je vystřelena svisle dolů z výšky h1 = 18 m. Její počáteční rychlost má velikost v0 = 14 m/s. Kulka se zaryje do písku a zastaví se v hloubce h2 = 21 cm. a) K jaké změně mechanické energie kulky přitom došlo? b) Jaká je změna vnitřní energie soustavy kulka+pískoviště+Země? c) Jaká je velikost průměrné odporové síly F?

6.      Závodní automobil o hmotnosti m se rozjíždí z klidu. Jeho motor má stálý výkon P. Za jakou dobu urazí automobil dráhu s?

7.      Pozorování světla z jisté hvězdy nám naznačuje, že tato hvězda je součástí dvojhvězdy. Viditelná hvězda má oběžnou rychlost 270 km/h, dobu oběhu 1,7 dní a hmotnost přibližně rovnu 6MS, kde MS = 1,99×1030 kg je hmotnost Slunce. Předpokládejme, že se hvězda a její společník, který je temný, a proto neviditelný, pohybují po kruhových oběžných drahách. Určete přibližně hmotnost m2 jejího temného společníka.

8.      Tři děti - každé o hmotnosti 40 kg - si udělaly vor svázaný z klád. Každá kláda měla průměr 30 cm a délku 6 m. Kolik klád musely děti použít, aby se s nimi vor nepotopil? Hustota dřeva je 940 kg/m3.

9.      Určete hmotnost vody nad zemí, jestliže je z povrchu země vystřikována šikmo vzhůru rychlostí 20 m/s přes trysku kruhového průřezu 2 cm.

10. Na vodorovném dně vodojemu leží zrcadlo. V jaké vzdálenosti l od místa dopadu paprsku na vodní hladinu po odrazu na zrcadle vystoupí tento paprsek znovu na hladinu vody? Úhel dopadu paprsku je 30°, index lomu je 1,33, hloubka h vodojemu 1,2 m.